連立方程式の解き方（中学生向け）

連立方程式の解き方（中学生向け）

連立方程式の基本的な解き方

１年生でで文字式・方程式を解けるようになったものの、中学２年生で習う連立方程式でつまづいた方も多いのではないでしょうか？

連立方程式が今まで見てきた方程式と異なる点は、文字が１種類ではなく２種類あることです。

文字が１種類だけのときは、解きたい文字を含む項を左辺に、定数(数字)を右辺に移項して解くことができました。

例1)

2x + 2 = x - 1

2x - x = -1 -2

x = -3

しかし、もしも１つの方程式の中に文字が２種類 (高校以上では２種類以上)含まれている場合は、１つの式だけで２種類の文字について解くことはできません。

例2)

ｘ + y = 3

x = -y +3

上の例では、ｘを求めようと思っても右辺にもう一つの文字ｙが残るため、ｘについて解くことができません。ｙについても同様です。

しかし、２種類の文字を含む式が２つあればどうでしょうか？

例3)

x + y = 3

x + 2y = 0

例2)では、ある文字について解こうとしても、もう一方の文字も残ってしまうため解くことができませんでした。

ということは、もう片方の文字がいなくなってくれればようさそうです！

例3)の上の式から下の式を引いてみましょう。そうすると、

(x + y) - (x + 2y) = 3 - 0

x - x + y - 2y = 3

-y = 3

y = -3

ｘが見事に消えてくれて、ｙについて解くことができました！このように文字を消去するためには、２つの式でどちらかの文字の係数の絶対値(符号を無視した係数の数字の部分)が等しくなっていればよいです。

ｘについて解くためには、今求めたｙを例３)のどちらかの式に『代入』すればOKです。

もう一つの例を見ておきましょう。

例4)

6x - y = 3

4x + y = 7

今回はｙの係数の絶対値が等しいので、どうやらｙを消去することができそうです。

注意が必要なのは、２つの式でｙの項の符号が異なっていることです。消去するためには、２つの式を足してあげればよいです。

(6x - y) + (4x + y) = 3 + 7

6x + 4x -y +y = 10

10x = 10

x = 1

もともとの式の１つに x の値を『代入』して、

４× 1 + y = 7

4 + y = 7

y = 7 - 4

y = 3

今回も２つの文字について求めることができました。このように２つの式を足したり引いたりして解く方法を『加減法』と呼びます。

では、文字の係数の絶対値が異なるときはどうすればよいでしょうか？

例5)

3x + 2y = 2　・・・①

6x + 3y = 6　・・・②

このような場合でも、片方の文字を消去するという目的は同じです。方程式の両辺を定数倍しても等式は成り立つわけなので、２つの式である文字の係数の絶対値が等しくなるように式の両辺に何か欠けてあげましょう。

例えば、例5)では①の式の 3x を２倍して 6x になってくれれば、もう一つの式②の x の項と係数の絶対値が等しくなりそうです。

(3x +2y)×2 = 2×2

6x + 4y = 4 ・・・③

この式を③とすれば、例5)の連立方程式は

6x + 4y = 4　・・・③

6x + 3y = 6　・・・②

となり、例3)や例4)と同じように解くことができます。

③ - ② を解くと、

(6x + 4y) - (6x + 3y) = 4 - 6　・・・②

6x - 6x +4y - 3y = -2

y = -2

①に y を代入して、

3x + 2×(-2) = 2

3x -4 = 2

3x = 2 + 4

3x = 6

x = 2

とx, yについて解くことができます。yを①に代入したのは、一番計算が簡単そうだったためです。一方の文字を代入する式はどれを選んでもかまいません。

さらに次のような場合を考えてみましょう。

例6)

x = y + 2　・・・①

2x - 3y = 9　　　・・・②

この場合も『加減法』によって解くことはできますが、申し越し簡単に解く方法があるかもしれません。

①式が x = ～ の形になっているので、①式の右辺 (y + 2) を②式の x に代入してみます。

2x - 3y = 9

2(y + 2) - 3y = 9

2y + 4 - 3y = 9

-y = 9 - 4

-y = 5

y = -5

y を①式に代入して

x = y + 2

x = -5 + 2

x = -3

このように片方の文字をもう一方の式に代入して連立方程式を解く方法を『代入法』といいます。

例6)も加減法によって解くことはできますが、①式の y を左辺に移項したり係数をそろえたりしなければならないため少し面倒です。

『加減法』によって解くのか『代入法』によって解くのかは連立方程式のどちらかの式がx =　～ や y =　～ の形になっているかで判断しましょう。

これまで見てきたように、ひとつの式に２つの文字が含まれているときは連立方程式によって解くことができることや、連立方程式を解くためには片方の文字を消去すれば解けることを確認してきました。

連立方程式の解き方については理解できましたか？スラスラ解けるようになるまで、たくさん問題を解いて練習しましょう！

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